数学解题思路技巧和方法

一、整体法

整体法是从整体入手，全面观察，通过对整体结构的分析，找到解题的思路，突破思维障碍．

例1设0u003ca≤1, f(x)=logx(a2 2/x)，则实数a的取值范围是

A．[1/4,1] B．(0,1)

C．(0,1/4] D．[1/2,1)

分析：本题考查对数函数的性质及对数运算，属中档题．

解：由题意得$a^{2} frac{2}{x} u003e 0$，即$a^{2} u003e - frac{2}{x}$，又$- frac{2}{x} i (0, ify)$，所以$a^{2} geqsla 0$，即$a i R$，

又$f(x) = log_{x}(a^{2} frac{2}{x}) = log_{x}a^{2} log_{x}(frac{2}{x}) = log_{x}a^{2} - 1$，由对数函数的性质得$log_{x}a^{2} - 1 i [- 1,1]$，解得$frac{1}{4} leqsla a^{2} leqsla 1$，即$frac{1}{2} leqsla a leqsla 1$．

故选D．

二、换元法

换元法是对一些构造较复杂或难以变形时采用的一种解题方法．通过换元可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，使问题便于解决．

例2已知函数$f(x) = (frac{1}{3})^{- x} a$的图象过点$(3,5)$．

(1)求实数$a$的值；

(2)若$f(x_{0}) u003e 3$，求实数$x_{0}$的取值范围．

分析：本题主要考查函数值的计算，根据指数函数和对数函数的性质是解决本题的关键．

解：(1)由题意知$lef( frac{1}{3} righ)^{- 3} a = 5$，则$frac{1}{3^{3}} a = 5$，解得$a = 4$；

(2)$f(x_{0}) u003e 3$等价于$lef( frac{1}{3} righ)^{x_{0}} 4 u003e 3$，即$lef( frac{1}{3} righ)^{x_{0}} u003e - 1$.当$lef( frac{1}{3} righ)^{x_{0}} u003e - 1$时，由指数函数的单调性得$x_{0} u003c 0$．