微积分题目解析

一、题目概述

本题是一道微积分题目，主要考察了函数的导数、极值和最值等知识点。题目要求求解一个给定函数的导数，并判断该函数在哪些区间内单调递增或单调递减，以及求出函数的极值和最值。

二、解题步骤与细节

1. 确定函数表达式

我们需要确定题目中给出的函数表达式。在本题中，给定函数为 f(x) = x^3 - 6x^2 9x。

2. 求导数

接下来，我们需要求出该函数的导数。使用导数的定义和微积分的基本公式，我们可以得到：

f'(x) = 3x^2 - 12x 9

3. 判断单调性

要判断函数的单调性，我们需要找到导数等于零的点，即解方程 f'(x) = 0。解得 x = 1, x = 3。因此，函数在 ( - ∞,1],[3, ∞) 上单调递增，在 (1,3) 上单调递减。

4. 找极值

在单调递增的区间内，函数没有极值；在单调递减的区间内，函数有极小值。因此，我们需要找到函数在 (1,3) 区间的极小值。由于 f'(x) 在 (1,3) 上大于零，函数在此区间内是单调递增的，因此没有极小值。

5. 求最值

由于函数在 ( - ∞,1] 和 [3, ∞) 上单调递增，并且在 (1,3) 上单调递减，因此函数的最小值出现在 x = 1 处，最大值出现在 x = 3 处。将 x = 1 和 x = 3 代入原函数 f(x)，得到：

f(1) = 1^3 - 6(1^2) 9(1) = 4f(3) = 3^3 - 6(3^2) 9(3) = 0

所以，函数的最小值为 f(1) = 4，最大值为 f(3) = 0。

三、知识点应用

本题主要涉及了以下知识点：

1. 导数的定义和计算方法；

2. 导数与函数单调性的关系；

3. 导数与函数极值和最值的关系。

通过运用这些知识点，我们可以解决题目中的问题。

四、解题反思与总结

本题的解答过程中需要注意以下几点：

1. 导数的计算需要仔细，确保结果的准确性；

2. 在判断单调性时，需要找到导数等于零的点；

3. 在找极值时，需要找到单调递减的区间内的点；

4. 在求最值时，需要将关键点代入原函数进行计算。

通过以上的解答过程和反思，我们可以发现解题的关键在于掌握基本概念和知识点，并能够灵活运用它们来解决问题。同时，也需要细心和耐心地完成计算过程，确保结果的准确性。