微积分题目及答案解析

一、题目：求函数 f(x) = x^3 2x^2 x 的极值。

答案解析：

我们需要找到函数 f(x) = x^3 2x^2 x 的导数。

f'(x) = 3x^2 4x 1

然后，我们要找到使 f'(x) = 0 的 x 值，这可以帮助我们找到可能的极值点。

3x^2 4x 1 = 0

解得 x = -1 和 x = -3/5

接下来，我们需要检查这些点两侧的函数值。

当 x u003c -1 时，f'(x) u003e 0，说明 f(x) 在此区间内是增函数。当 -1 u003c x u003c -3/5 时，f'(x) u003c 0，说明 f(x) 在此区间内是减函数。当 x u003e -3/5 时，f'(x) u003e 0，说明 f(x) 在此区间内是增函数。

因此，f(x) 在 x = -1 处取得极大值，极大值为 f(-1) = 0。f(x) 在 x = -3/5 处取得极小值，极小值为 f(-3/5) = -24/25。

二、题目：求函数 y = si(2x) 在 [0, π] 上的最大值和最小值。

答案解析：

我们知道函数 y = si(2x) 在区间 [0, π] 上的值域是 [-1, 1]。这是由于正弦函数的周期性决定的，其在每一个周期 [0, π] 上都是如此。因此，在这个区间上，函数的最大值是 1，最小值是 -1。