微积分：从基础知识到实际应用

一、微积分基础知识

1.1 函数与极限

题目：设函数 f(x) = x2 - 2x，求 f(x) 在 x=3 处的极限。

解答：根据函数 f(x) = x2 - 2x，当 x=3 时，f(3) = 32 - 23 = 3。因此，当 x 趋近于 3 时，f(x) 的极限为 3。

1.2 导数与微分

题目：求函数 f(x) = x3 的导数。

解答：利用导数的定义，对函数 f(x) = x3 求导，得到 f'(x) = 3x2。这就是函数 f(x) = x3 的导数。

1.3 积分与反导数

题目：计算不定积分 ∫ (x3 2x) dx。

解答：根据不定积分的计算法则，∫ (x3 2x) dx = (1/4)x? x2 C，其中 C 是积分常数。

二、微积分在几何中的应用

2.1 曲线长度计算

题目：求曲线 y = si x (0 ≤ x ≤ π) 的长度。

解答：首先求出给定函数的导数，然后利用定积分的几何意义计算长度。根据导数和微分的知识，我们知道∫ (si x)' dx = ∫ cos x dx = si x C。由于曲线在 [0, π] 区间内，所以长度 L = π。

2.2 面积与体积计算

题目：求曲线 y = x2 与直线 y = 1 所围成的平面图形的面积。

解答：首先解出两曲线的交点，然后计算定积分来求解面积。解出交点得 x = ±1，所以面积 S = ∫ (1 - x2) dx = [x - (1/3)x3] = (4/3)。

2.3 速度与加速度求解

题目：已知质点沿 x 轴做简谐振动，其运动方程为 x = 5si ( - π/4)，求质点的速度和加速度。

解答：对于质点的速度，我们用位移对时间的一阶导数来表示，即 v = dx/d = d(5si ( - π/4))/d = 5cos ( - π/4)。对于加速度，我们用位移对时间的二阶导数来表示，即 a = d2x/d2 = d(5cos ( - π/4))/d2 = -5si ( - π/4)。

三、微积分在物理中的应用

3.1 速度与加速度求解

题目：已知物体做直线运动，其加速度 a = -2 (单位：m/s2)，当 =1 时，v=1 (单位：m/s)，求物体的运动方程。

解答：首先求出物体的速度公式，然后代入已知条件进行求解。由加速度的定义知，速度 v 是时间 的函数，即 v() = ∫ (-2) d = -2 C。已知当 =1 时，v=1，代入得 C = 1，所以物体运动方程为 x() = (-1/2)2 。

3.2 斜率与切线求解

题目：求曲线 y = x2 在点 (2,4) 处的切线方程。